„Ecuații de fizică matematică” - curs 2800 rub. de la MSU, antrenament 15 săptămâni. (4 luni), Data: 30 noiembrie 2023.
Miscelaneu / / December 02, 2023
Cursul se adresează licențelor, masteranților și specialiștilor specializați în discipline de matematică, inginerie sau științe naturale, precum și profesorilor universitari. Scopul cursului este de a introduce studentul într-o serie de probleme clasice din domeniul ecuațiilor cu fizica matematică și de a învăța studentul metodele de bază de studiere a unor astfel de ecuații. Cursul acoperă material clasic despre ecuațiile fizicii matematice (ecuații cu diferențe parțiale) într-un semestru de studiu. Secțiunile „Ecuații liniare și cvasiliniare de ordinul întâi”, „Clasificarea ecuațiilor liniare”, „Ecuație de undă”, „Ecuația parabolică”, „Soluții fundamentale”, „Ecuația lui Laplace”. Ne vom familiariza cu formulările clasice ale problemelor - problema Cauchy, problema limitei. Să stăpânim metodele de bază de studiere a ecuațiilor - integrarea directă, metoda continuării soluțiilor, metoda Fourier, metoda soluțiilor fundamentale, metoda potențialelor. Ne vom aminti adesea derivarea acestor ecuații în probleme de fizică matematică și limitele de aplicabilitate ale modelelor noastre.
Forma de studiu
Cursuri prin corespondență folosind tehnologii de învățare la distanță
Criterii de admitere
Disponibilitatea VO sau SPO
2
cursDoctor în Științe Fizice și Matematice, Profesor Funcția: Profesor al Departamentului de Matematică Fundamentală și Aplicată, Facultatea de Cercetare Spațială, Universitatea de Stat din Moscova, numită după M.V. Lomonosov
1. Prima intalnire.
Cuvânt introductiv. Principii de bază ale lucrului cu ecuații ale fizicii matematice. Exemple de ecuații simple. Clasificare. Rezolvarea ecuațiilor simple prin reducerea lor la ecuații diferențiale obișnuite. Înlocuirea variabilelor într-o ecuație.
2. Ecuații de ordinul întâi – liniare și cvasiliniare.
Ecuatii lineare. Găsirea unui înlocuitor adecvat - compilarea și rezolvarea unui sistem de ecuații diferențiale ordinare de ordinul întâi. Primele integrale ale sistemului. Caracteristici. Ecuații cvasiliniare. Găsirea unei soluții într-o formă implicită.
3. Problema Cauchy. Clasificarea ecuațiilor liniare de ordinul doi.
Enunțarea problemei Cauchy. Teoremă privind existența și unicitatea unei soluții la problema Cauchy. Clasificarea ecuațiilor liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți. Reducere la forma canonică.
4. Ecuații hiperbolice, parabolice și eliptice.
Clasificarea ecuațiilor liniare de ordinul doi cu coeficienți variabili pe plan. Tip hiperbolic, parabolic și eliptic. Rezolvarea ecuațiilor hiperbolice. Probleme cu condițiile inițiale și la limită.
5. Ecuația șirurilor.
Ecuație de undă unidimensională pe întreaga axă. Val înainte și înapoi. formula lui d'Alembert. Duhamel integral. Condiții la limită pentru ecuația de pe semiaxă. Tipuri de bază de condiții la limită. Continuarea soluției. Cazul unui segment finit.
6. Metoda Fourier folosind ecuația șirurilor ca exemplu.
Ideea metodei Fourier. Primul pas este să găsești o bază. Al doilea pas este de a obține ecuații diferențiale obișnuite pentru coeficienții Fourier. Al treilea pas este luarea în considerare a datelor inițiale. Convergența serii.
7. Ecuația de difuzie (segment finit).
Derivarea ecuației. Enunțarea problemelor (condiții inițiale și la limită). Metoda Fourier. Luând în considerare partea dreaptă și neomogenitatea în condiții la limită. Convergența serii.
8. Ecuația de difuzie (întreaga axă).
Transformată Fourier, formulă de inversare. Rezolvarea ecuației folosind transformata Fourier. Teorema – justificarea metodei (două cazuri). formula lui Poisson. Cazul unei ecuații cu partea dreaptă.
9. Funcții generalizate.
Scrierea formulei lui Poisson ca o convoluție. Înregistrarea sub forma unei convoluții a soluției ecuației căldurii pe un segment finit. Clasa Schwartz. Exemple de funcții din clasă. Definirea functiilor generalizate, legatura cu functiile clasice. Înmulțirea unei funcții generalizate cu o funcție de bază, diferențiere. Convergenţa funcţiilor generalizate. Exemple de funcții generice.
10. Lucrul cu funcții generice.
Rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite în funcții generalizate. Transformată Fourier a funcțiilor generalizate. Convoluţie. Produs direct. Purtătorul unei funcții generalizate. Rezolvarea ecuației de căldură unidimensională neomogenă folosind soluția fundamentală. Soluție fundamentală a unui operator diferențial obișnuit pe un interval.
11. Soluții fundamentale.
Derivarea formulei Poisson pentru ecuația de căldură multidimensională. Derivarea formulei lui Kirkhoff. Derivarea formulei lui Poisson pentru ecuația de undă. Rezolvarea problemelor folosind metoda separării variabilelor, metoda suprapunerii.
12. ecuația lui Laplace.
Derivarea ecuației lui Laplace. Câmp vectorial – potențial, flux printr-o suprafață. Potenţial de volum. Potențial de strat simplu. Potențial dublu strat. Potenţial logaritmic.
13. Problema Dirichlet, problema Neumann și funcția lui Green.
Funcții armonice. Principiul extremumului slab. teorema lui Harnack. Principiu maxim strict. Teorema unicității. Teorema valorii medii. Netezime fără sfârșit. teorema lui Liouville. Formula lui Green. Funcția lui Green, proprietățile sale. Rezolvarea problemei Poisson cu condiții Dirichlet folosind funcția lui Green. Alte probleme cu valoarea limită. Construirea funcției lui Green prin metoda reflexiei.
14.Metoda Fourier multidimensională.
Rezolvarea problemelor folosind metoda Fourier. Diverse condiții la limită. Funcțiile Bessel. Polinomul Legendre. Revizuirea cursului finalizat. Rezumând.